diff --git a/lectures/von_neumann_model.md b/lectures/von_neumann_model.md index 8aa4ca4..6652bc8 100644 --- a/lectures/von_neumann_model.md +++ b/lectures/von_neumann_model.md @@ -27,7 +27,7 @@ kernelspec: :depth: 2 ``` -本讲座使用`Neumann`类来计算约翰·冯·诺依曼{cite}`von1937uber`提出的线性增长模型的关键要素，该模型后来被Kemeny、Morgenstern和Thompson {cite}`kemeny1956generalization`进行了推广。 +本讲座使用`Neumann`类来计算约翰·冯·诺依曼{cite}`von1937uber`提出的线性增长模型的一些关键要素，该模型后来被Kemeny、Morgenstern和Thompson {cite}`kemeny1956generalization`进行了推广。 我们关注的要素包括最大扩张率（$\alpha$）、利息因子（$β$）、最优强度（$x$）和价格（$p$）。 @@ -37,7 +37,7 @@ kernelspec: - 线性规划 - Perron-Frobenius定理 -让我们先从导入包开始： +让我们从一些导入开始： ```{code-cell} ipython import numpy as np @@ -73,24 +73,24 @@ class Neumann(object): b_{i,j} - 活动i生产的商品j的数量 x ... 强度向量(m维向量)，具有非负分量 - x'B - 生产的商品向量 - x'A - 消耗的商品向量 + x'B - 商品的产出向量 + x'A - 商品的消耗向量 p ... 价格向量(n维向量)，具有非负分量 Bp - 每个活动的收入向量 - Ap - 每个活动的成本 + Ap - 每个活动的成本向量 - A和B都具有非负分量。此外，我们假设： + A和B的元素都非负。此外，我们假设： (1) 假设I(每种被消耗的商品都会被生产)： - 对所有j，b_{.,j} > 0，即至少有一个分量严格为正 + 对所有j，b_{.,j} > 0，即至少有一个元素严格为正 (2) 假设II(没有免费午餐)： - 对所有i，a_{i,.} > 0，即至少有一个分量严格为正 + 对所有i，a_{i,.} > 0，即至少有一个元素严格为正 参数 ---------- A : array_like或标量(float) - 状态转移方程的一部分。应为`n x n` + 状态转移方程的一部分。应为 `m x n` 矩阵 B : array_like或标量(float) - 状态转移方程的一部分。应为`n x k` + 状态转移方程的一部分。应为 `m x n` 矩阵 """ def __init__(self, A, B): @@ -99,8 +99,8 @@ class Neumann(object): self.m, self.n = self.A.shape # 检查(A, B)是否满足基本假设 - assert self.A.shape == self.B.shape, '输入和输出矩阵必须具有相同的维度！' - assert (self.A >= 0).all() and (self.B >= 0).all(), '输入和输出矩阵必须只包含非负分量！' + assert self.A.shape == self.B.shape, '投入和产出矩阵必须具有相同的维度！' + assert (self.A >= 0).all() and (self.B >= 0).all(), '投入和产出矩阵必须只包含非负元素！' # (1) 检查是否满足假设I： if (np.sum(B, 0) <= 0).any(): @@ -125,8 +125,8 @@ class Neumann(object): - 生产活动数量 : {m} 假设： - - AI: B的每一列都有正分量 : {AI} - - AII: A的每一行都有正分量 : {AII} + - AI: B的每一列都有正元素 : {AI} + - AII: A的每一行都有正元素 : {AII} """ # 不可约的 : {irr} @@ -135,8 +135,7 @@ class Neumann(object): def convert(self, x): """ - 将类数组对象(列表的列表、浮点数等)转换为 - 规范的2D NumPy数组 + 将类数组对象(列表的列表、浮点数等)转换为规范的2D NumPy数组 """ return np.atleast_2d(np.asarray(x)) @@ -197,8 +196,8 @@ class Neumann(object): M = B - γ * A if dual == False: - # 求解原问题线性规划(详见描述) - # (1) 定义v的最大化问题(linprog最小化) + # 用原始线性规划求解（详情参见上面的描述） + # (1) 定义待求解问题的目标函数（linprog 默认求最小值，因此这里取负号） c = np.hstack([np.zeros(m), -1]) # (2) 添加约束： @@ -215,8 +214,8 @@ class Neumann(object): bounds=bounds) else: - # 求解对偶线性规划(详见描述) - # (1) 定义v的最大化问题(linprog最小化) + # 用对偶线性规划求解（详情参见上面的描述） + # (1) 定义待求解问题的目标函数（linprog 默认求最小值，因此这里取负号） c = np.hstack([np.zeros(n), 1]) # (2) 添加约束： @@ -244,7 +243,7 @@ class Neumann(object): def expansion(self, tol=1e-8, maxit=1000): """ - 这里使用的算法在Hamburger-Thompson-Weil(1967, ECTA)中有描述。 + 这里使用的算法来自Hamburger-Thompson-Weil(1967, ECTA)。 它基于简单的二分法，并利用了这样一个思想：对于给定的γ(= α或β)， 矩阵"M = B - γ * A"定义了一个两人零和博弈，其中最优策略是 (归一化的)强度和价格向量。 @@ -278,10 +277,10 @@ class Neumann(object): def interest(self, tol=1e-8, maxit=1000): """ - 这里使用的算法在Hamburger-Thompson-Weil(1967, ECTA)中有描述。 - 它基于简单的二分法，并利用了这样一个思想：对于给定的gamma(= alpha或beta)， + 这里使用的算法来自Hamburger-Thompson-Weil(1967, ECTA)。 + 它基于简单的二分法，并利用了这样一个思想：对于给定的γ(= α或β)， 矩阵"M = B - γ * A"定义了一个两人零和博弈，其中最优策略是 - (归一化的)强度和价格向量 + (归一化的)强度和价格向量。 输出： -------- @@ -316,11 +315,11 @@ class Neumann(object): $\mathbf{0}$ 表示零向量。 -对于一个 $n$ 维向量，如果对所有 $i=1,2,\dots,n$ 都有 $x_i>0$，我们称之为正向量，记作 $x\gg \mathbf{0}$。 +对于一个 $n$ 维向量，如果对所有 $i=1,2,\dots,n$ 都有 $x_i>0$，我们称之为**正向量**，记作 $x\gg \mathbf{0}$。 -如果对所有 $i=1,2,\dots,n$ 都有 $x_i\geq 0$，我们称之为非负向量，记作 $x\geq \mathbf{0}$。 +如果对所有 $i=1,2,\dots,n$ 都有 $x_i\geq 0$，我们称之为**非负向量**，记作 $x\geq \mathbf{0}$。 -如果 $x\geq \mathbf{0}$ 且 $x\neq \mathbf{0}$，我们称之为半正向量，记作 $x > \mathbf{0}$。 +如果 $x\geq \mathbf{0}$ 且 $x\neq \mathbf{0}$，我们称之为**半正向量**，记作 $x > \mathbf{0}$。 对于两个可比向量 $x$ 和 $y$，$x\gg y$、$x\geq y$ 和 $x> y$ 分别表示 $x-y\gg \mathbf{0}$、$x-y \geq \mathbf{0}$ 和 $x-y > \mathbf{0}$。 @@ -328,17 +327,15 @@ $\mathbf{0}$ 表示零向量。 用 $\iota_n$ 表示由 $n$ 个1组成的列向量，即 $\iota_n = (1,1,\dots,1)^T$。 -用 $e^i$ 表示一个（任意大小的）向量，除第 $i$ 个位置为1外，其余位置均为0。 - -我们用大写字母表示矩阵。对于任意矩阵 $A$，$a_{i,j}$ 表示其第 $i$ 行 +用 $e^i$ 表示一个（任意维度的）向量，除第 $i$ 个位置为1外，其余位置均为0。 -行和第 $j$ 列。 +我们用大写字母表示矩阵。对于任意矩阵 $A$，$a_{i,j}$ 表示其第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素。 $a_{\cdot j}$ 和 $a_{i\cdot}$ 分别表示矩阵 $A$ 的第 $j$ 列和第 $i$ 行。 ## 模型要素和假设 -一对 $m\times n$ 非负矩阵 $(A,B)$ 定义了一个经济。 +一对 $m\times n$ 非负矩阵 $(A,B)$ 定义了一个经济体。 - $m$ 是*活动*（或部门）的数量 - $n$ 是*商品*（生产和/或消费）的数量 @@ -347,17 +344,20 @@ $a_{\cdot j}$ 和 $a_{i\cdot}$ 分别表示矩阵 $A$ 的第 $j$ 列和第 $i$ 两个关键假设限制经济 $(A,B)$： -- **假设 I：**（每种被消费的商品也都被生产） +````{prf:assumption} 每种被消费的商品也都被生产。 +:label: assumption1 - $$ +```{math} b_{.,j} > \mathbf{0}\hspace{5mm}\forall j=1,2,\dots,n - $$ - -- **假设 II：**（没有免费午餐） +``` +```` - $$ +````{prf:assumption} 没有免费午餐 +:label: assumption2 +```{math} a_{i,.} > \mathbf{0}\hspace{5mm}\forall i=1,2,\dots,m - $$ +``` +```` 半正*强度* $m$ 维向量 $x$ 表示活动的运行水平。 @@ -366,23 +366,24 @@ $a_{\cdot j}$ 和 $a_{i\cdot}$ 分别表示矩阵 $A$ 的第 $j$ 列和第 $i$ - 向量 $x^TA$ 表示*生产中使用的商品总量* - 向量 $x^TB$ 表示*总产出* -如果存在一个非负强度向量 $x \geq 0$ 使得 $x^T B > x^TA$，则称经济 $(A,B)$ 是*生产性的*。 +如果存在一个非负强度向量 $x \geq 0$ 使得 $x^T B > x^TA$，则称经济体 $(A,B)$ 是*生产性的*。 半正 $n$ 维向量 $p$ 包含了分配给 $n$ 种商品的价格。 -向量 $p$ 意味着*成本*和*收入*向量 +向量 $p$ 决定了*成本*和*收入*向量 + +- 向量 $Ap$ 表示各项活动的*成本* +- 向量 $Bp$ 表示各项活动的*收入* -- 向量 $Ap$ 表示活动向量的*成本* -- 向量 $Bp$ 表示活动向量的*收入* +投入-产出对 $(A,B)$ 的一个性质被称为**不可约性**（或不可分解性），它决定了一个经济系统能否被分解为多个“子经济体”。 -满足度或称为*不可约性*（或不可分解性）的投入产出对 $(A,B)$ 的一个性质决定了一个经济是否可以被分解为多个"子经济"。 +```{prf:definition} +对于经济体 $(A,B)$，如果存在商品的一个子集 $S \subset \{1,2,\dots,n\}$，在不消耗集合 $S$ 以外商品的情况下就可以生产 $S$ 中的每种商品，那么称 $S$ 是一个*独立子集*。 -**定义：** 对于经济 $(A,B)$，如果可以在不消耗 $S$ 以外商品的情况下生产 $S$ 中的每种商品，则称商品集合 $S\subset \{1,2,\dots,n\}$ 为*独立子集*。形式上，如果集合 $S$ 满足以下条件，则称其为独立的： +形式上，如果集合 $S$ 满足以下条件，则称其为独立的：$\exists T\subset \{1,2,\dots,m\}$（活动的一个子集），使得对于所有 $i\in T$ 和 $j\in S^c$，有 $a_{i,j}=0$，且对于所有 $j\in S$，$\exists i\in T$ 使得 $b_{i,j}>0$。 -$\exists T\subset \{1,2,\dots,m\}$（活动的一个子集），使得 -对于所有 $i\in T$ 和 $j\in S^c$，有 $a_{i,j}=0$，且 -对于所有 $j\in S$，$\exists i\in T$ 使得 $b_{i,j}>0$。 如果不存在真独立子集，则称该经济是**不可约的**。 +``` 我们研究两个例子，都来自Gale的著作第9.6章 {cite}`gale1989theory` @@ -410,7 +411,7 @@ B2 = np.array([[1, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 1]]) ``` -以下代码设置我们的第一个诺伊曼经济或`Neumann`实例 +下面的代码设置了我们的第一个诺伊曼经济的实例 ```{code-cell} ipython3 n1 = Neumann(A1, B1) @@ -426,21 +427,21 @@ n2 ## 动态解释 -将时间指标 $t$ 附加到前述对象上，将经济视为一个动态系统，并研究以下序列 +现在给上述模型的所有对象附加一个时间指标 $t$，将经济体视为一个动态系统，并考虑以下序列： $$ \{(A_t,B_t)\}_{t\geq 0}, \hspace{1cm}\{x_t\}_{t\geq 0},\hspace{1cm} \{p_t\}_{t\geq 0} $$ -一个有趣的特殊情况是保持技术过程不变，仅研究数量和价格的动态变化。 +一个有趣的特殊情况是保持技术过程不变，仅研究商品数量和价格的动态变化。 因此，在本讲座的剩余部分，我们假设对所有 $t\geq 0$ 都有 $(A_t,B_t)=(A,B)$。 -动态解释的一个关键要素涉及生产的时间安排。 +动态解释中一个关键因素是生产的时间安排。 我们假设生产（投入品的消耗）发生在 $t$ 期，而相应的产出在 $t+1$ 期实现，即在 $t$ 期消耗 $x_{t}^TA$ 将在 $t+1$ 期产生 $x^T_{t}B$ 数量的产出。 -这些时间约定意味着以下可行性条件： +这一时序约定意味着以下可行性条件： $$ \begin{aligned} @@ -448,17 +449,17 @@ x^T_{t}B \geq x^T_{t+1} A \hspace{1cm}\forall t\geq 1 \end{aligned} $$ -这表明今天使用的商品不能超过昨天生产的数量。 +这表明今天消耗的商品不能超过昨天生产的数量。 因此，$Ap_t$ 表示第 $t$ 期的生产成本，而 $Bp_t$ 表示第 $t+1$ 期的收入。 ### 平衡增长 -我们遵循约翰·冯·诺依曼的方法来研究"平衡增长"。 +我们按照约翰·冯·诺依曼的方法来研究“平衡增长”。 让 $./$表示两个向量的逐元素除法，让 $\alpha >0$ 为一个标量。 -那么*平衡增长*是一种满足以下条件的情况： +那么**平衡增长**指的是如下情形： $$ x_{t+1}./x_t = \alpha , \quad \forall t \geq 0 @@ -470,13 +471,11 @@ $$ x^T_{t}B \geq \alpha x^T_t A \hspace{1cm}\forall t $$ -同样地，将 $\beta\in\mathbb{R}$ 定义为每单位时间的**利息因子**。 - -我们假设始终可以通过在"模型外"投资获得等于常数利息因子 $\beta$ 的总回报。 +类似地，将 $\beta\in\mathbb{R}$ 定义为每单位时间的**利息因子**。 -在这个关于外部投资机会的假设下，一个 +我们假设，通过在“模型外”投资始终可以获得等于常数利息因子 $\beta$ 的总回报。 -无套利条件产生以下（无利润）价格序列限制： +基于该假设，一个无套利条件对价格序列提出了如下的（无利润）限制： $$ \beta Ap_{t} \geq B p_{t} \hspace{1cm}\forall t @@ -484,110 +483,121 @@ $$ 这表明生产的回报不能超过外部投资机会所提供的回报（这里我们比较第$t+1$期的价值）。 -平衡增长假设使我们可以省略时间下标，并完全基于时间不变的增长率$\alpha$和利息因子$\beta$进行分析。 +平衡增长假设使我们可以省略时间下标，并完全基于时不变的增长率 $\alpha$ 和利息因子 $\beta$ 进行分析。 ## 对偶性 -两个问题通过经济的技术特征和估值特征之间存在着一个显著的对偶关系： +经济系统的技术特征和价值特征之间存在一个值得注意的的对偶关系，将下面两个问题联系在一起： -**定义：** 经济$(A,B)$的*技术扩张问题*（TEP）是找到一个半正$m$维向量$x>0$和一个实数$\alpha\in\mathbb{R}$，使其满足 +```{prf:definition} +经济体 $(A,B)$ 的**技术扩张问题**（technological expansion problem, TEP）是找到一个半正 $m$ 维向量 $x>0$ 和一个实数 $\alpha\in\mathbb{R}$，使其满足 $$ \begin{aligned} &\max_{\alpha} \hspace{2mm} \alpha\\ - &\text{s.t. }\hspace{2mm}x^T B \geq \alpha x^T A + \text{使得 }\hspace{2mm} & x^\top B \geq \alpha x^\top A \end{aligned} $$ +``` David Gale的著作中的定理9.3 {cite}`gale1989theory`指出，如果假设I和II都满足，那么$\alpha$的最大值存在且为正数。 这个最大值被称为*技术扩张率*，用$\alpha_0$表示。相应的强度向量$x_0$被称为*最优强度向量*。 -**定义：** $(A,B)$的经济扩张问题（EEP）是要找到一个半正$n$维向量$p>0$和一个实数$\beta\in\mathbb{R}$，使其满足 +```{prf:definition} +$(A,B)$ 的经济扩张问题（economic expansion problem, EEP）是要找到一个半正 $n$ 维向量 $p>0$ 和一个实数 $\beta\in\mathbb{R}$，使其满足 $$ \begin{aligned} &\min_{\beta} \hspace{2mm} \beta\\ - &\text{s.t. }\hspace{2mm}Bp \leq \beta Ap - \end{aligned} + \text{使得 }\hspace{2mm} & Bp \leq \beta Ap +\end{aligned} $$ +``` -假设I和II意味着存在一个最小值$\beta_0>0$，称为*经济扩张率*。 +{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`意味着存在一个最小值 $\beta_0>0$，称为*经济扩张率*。 相应的价格向量$p_0$是*最优价格向量*。 -由于*技术扩张*问题和*经济扩张问题*中的目标函数都是线性齐次的， - -$x_0$ 和 $p_0$ 的最优性仅由一个正的比例因子来定义。 +由于*技术扩张*问题和*经济扩张问题*中的目标函数都是线性齐次的，$x_0$ 和 $p_0$ 的最优性仅由一个正的比例因子来定义。 为了方便（并强调与零和博弈的密切联系），我们将向量 $x_0$ 和 $p_0$ 都归一化为单位长度。 -标准对偶性论证（参见 (Gale, 1960) {cite}`gale1989theory` 中的引理9.4）表明，在假设I和II下，$\beta_0\leq \alpha_0$。 +标准对偶性论证（参见 (Gale, 1960) {cite}`gale1989theory` 中的引理9.4）表明，在{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`下，$\beta_0\leq \alpha_0$。 + +但要推导出 $\beta_0\geq \alpha_0$，{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`是不够的。 -但要推导出 $\beta_0\geq \alpha_0$，假设I和II是不够的。 +因此，冯·诺依曼 {cite}`von1937uber` 继续证明了以下连接TEP和EEP的重要“对偶性”结果。 -因此，冯·诺依曼 {cite}`von1937uber` 继续证明了以下连接TEP和EEP的重要"对偶性"结果。 +```{prf:theorem} 冯·诺依曼 +:label: theorem1 -**定理1（冯·诺依曼）：** 如果经济 $(A,B)$ 满足假设I和II，则存在 $\left(\gamma^{*}, x_0, p_0\right)$，其中 $\gamma^{*}\in[\beta_0, \alpha_0]\subset\mathbb{R}$，$x_0>0$ 是一个 $m$ 维向量，$p_0>0$ 是一个 $n$ 维向量，且以下套利关系成立 +如果经济体 $(A,B)$ 满足{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`，则存在 $\left(\gamma^{*}, x_0, p_0\right)$，其中 $\gamma^{*}\in[\beta_0, \alpha_0]\subset\mathbb{R}$，$x_0>0$ 是一个 $m$ 维向量，$p_0>0$ 是一个 $n$ 维向量，且以下套利关系成立 $$ \begin{aligned} -x_0^T B &\geq \gamma^{* } x_0^T A \\ +x_0^\top B &\geq \gamma^{* } x_0^\top A \\ Bp_0 &\leq \gamma^{* } Ap_0 \\ -x_0^T\left(B-\gamma^{* } A\right)p_0 &= 0 - +x_0^\top \left(B-\gamma^{* } A\right)p_0 &= 0 \end{aligned} $$ - -```{note} -*证明（概要）：* 假设I和II意味着存在$(\alpha_0, x_0)$和$(\beta_0, p_0)$分别解决TEP和EEP。如果$\gamma^*>\alpha_0$，根据$\alpha_0$的定义，不可能存在半正向量$x$满足$x^T B \geq \gamma^{* } x^T A$。类似地，如果$\gamma^*<\beta_0$，不存在半正向量$p$满足$Bp \leq \gamma^{* } Ap$。令$\gamma^{* }\in[\beta_0, \alpha_0]$，则$x_0^T B \geq \alpha_0 x_0^T A \geq \gamma^{* } x_0^T A$。此外，$Bp_0\leq \beta_0 A p_0\leq \gamma^* A p_0$。这两个不等式意味着$x_0\left(B - \gamma^{* } A\right)p_0 = 0$。 ``` -这里常数$\gamma^{*}$既是扩张因子也是利息因子（不一定是最优的）。 +```{prf:proof} （概要） +{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`意味着存在 $(\alpha_0, x_0)$ 和 $(\beta_0, p_0)$ 分别解决TEP和EEP。 -我们已经遇到并讨论了前两个表示可行性和无利润条件的不等式。 +如果 $\gamma^*>\alpha_0$，根据 $\alpha_0$ 的定义，不可能存在半正向量 $x$ 满足$x^T B \geq \gamma^{* } x^T A$。 -此外，等式$x_0^T\left(B-\gamma^{* } A\right)p_0 = 0$简洁地表达了 +类似地，如果 $\gamma^*<\beta_0$，不存在半正向量 $p$ 满足 $Bp \leq \gamma^{* } Ap$。令 $\gamma^{* }\in[\beta_0, \alpha_0]$，则 $x_0^T B \geq \alpha_0 x_0^T A \geq \gamma^{* } x_0^T A$。 -如果任何商品的增长率大于$\gamma^{*}$（即*供过于求*），那么其价格必须为零；如果任何生产活动产生负利润，则该活动必须停止。 +此外，$Bp_0\leq \beta_0 A p_0\leq \gamma^* A p_0$。这两个不等式意味着$x_0\left(B - \gamma^{* } A\right)p_0 = 0$。 +``` + +这里常数$\gamma^{*}$既是扩张因子也是利息因子（但不一定是最优的）。 + +我们已经遇到并讨论了前两个不等式，它们分别表示可行性条件和无利润条件。 + +此外，等式$x_0^T\left(B-\gamma^{* } A\right)p_0 = 0$简洁地表达了以下要求：如果任何商品的增长率大于$\gamma^{*}$（即*供过于求*），那么其价格必须为零；如果任何生产活动带来负利润，则该活动必须停止。 -因此，定理I中所述的条件包含了所有均衡条件。 +因此，{prf:ref}`theorem1`中所述的条件包含了所有均衡条件。 -所以定理I本质上表明，在假设I和II下，总是存在具有平衡增长的均衡$\left(\gamma^{*}, x_0, p_0\right)$。 +所以{prf:ref}`theorem1`本质上表明，在{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`下，总是存在具有平衡增长的均衡 $\left(\gamma^{*}, x_0, p_0\right)$。 -注意，定理I并未说明均衡的唯一性。事实上，它并不排除$x_0^TBp_0 = 0$的（平凡）情况，即没有产生任何有价值的产出。 +注意，{prf:ref}`theorem1`并未说明均衡的唯一性。事实上，它并不排除 $x_0^TBp_0 = 0$ 的（平凡）情况，即没有产生任何有价值的产出。 -为了排除这些无关紧要的情况，Kemeny、Morgenstern和Thompson {cite}`kemeny1956generalization`增加了一个额外要求 +为了排除这种无趣的情况，Kemeny、Morgenstern和Thompson {cite}`kemeny1956generalization`增加了一个额外要求 $$ x^T_0 B p_0 > 0 $$ -并将相关的均衡称为*经济解*。 +并将满足该条件的均衡称为*经济解*。 -他们证明了这个额外条件不影响均衡的存在性，同时显著减少了（相关）解的数量。 +他们证明，这个额外条件不影响均衡的存在性，同时显著减少了（相关的）解的数量。 ## 作为零和双人博弈的解释 -为了计算均衡 $(\gamma^{*}, x_0, p_0)$，我们遵循 Hamburger、Thompson 和 Weil (1967) 提出的算法，基于这样一个关键洞察：均衡(伴随平衡增长)可以解决一个特定的零和双人博弈。 +为了计算均衡 $(\gamma^{*}, x_0, p_0)$，我们遵循 Hamburger、Thompson 和 Weil (1967) 提出的算法，基于这样一个关键洞察：（伴随平衡增长的）均衡可以看作是一个特殊的双人零和博弈的解。 + 首先，我们引入一些符号。 -考虑 $m\times n$ 矩阵 $C$ 作为支付矩阵，其中的元素表示从**最小化**的列玩家到**最大化**的行玩家的支付，并假设玩家可以使用混合策略。因此， +考虑 $m\times n$ 矩阵 $C$ 作为支付矩阵，其中的元素表示从列玩家（**最小化**方）向行玩家（**最大化**方）支付的收益，并假设玩家可以使用混合策略。因此， * 行玩家选择 $m$ 维向量 $x > \mathbf{0}$，满足 $\iota_m^T x = 1$ * 列玩家选择 $n$ 维向量 $p > \mathbf{0}$，满足 $\iota_n^T p = 1$ -**定义：** $m\times n$ 矩阵博弈 $C$ 在混合策略中有*解* $(x^*, p^*, V(C))$，如果 +```{prf:definition} +$m\times n$ 矩阵博弈 $C$ 在混合策略中有*解* $(x^*, p^*, V(C))$，如果 $$ \begin{aligned} -(x^* )^T C e^j \geq V(C)\quad \forall j\in\{1, \dots, n\}\quad \quad - -\text{且}\quad\quad (e^i)^T C p^* \leq V(C)\quad \forall i\in\{1, \dots, m\} +(x^* )^\top C e^j \geq V(C)\quad \forall j\in\{1, \dots, n\}\quad \quad +\text{and}\quad\quad (e^i)^\top C p^* \leq V(C)\quad \forall i\in\{1, \dots, m\} \end{aligned} $$ 数值 $V(C)$ 被称为博弈的*值*。 +``` 从上述定义可以清楚地看出，值 $V(C)$ 有两种解释： @@ -597,7 +607,7 @@ $$ Nash (1951) 的一个著名定理告诉我们，任何*有限*的双人零和博弈总是存在混合策略纳什均衡。 -此外，冯·诺依曼的极小极大定理 {cite}`neumann1928theorie` 表明 +此外，冯·诺依曼的最小最大值定理 {cite}`neumann1928theorie` 表明 $$ V(C) = \max_x \min_p \hspace{2mm} x^T C p = \min_p \max_x \hspace{2mm} x^T C p = (x^*)^T C p^* @@ -605,7 +615,7 @@ $$ ### 与线性规划(LP)的联系 -有限双人零和博弈的纳什均衡可以解决一个线性规划问题。 +有限双人零和博弈的纳什均衡可以通过解一个线性规划问题得到。 为了说明这一点，我们引入以下符号 @@ -617,7 +627,7 @@ $$ $$ \begin{aligned} V(C) = & \max \hspace{2mm} v \\ -\text{s.t. } \hspace{2mm} v \iota_n^T &\leq x^T C \\ +\text{使得 } \hspace{2mm} v \iota_n^T &\leq x^T C \\ x &\geq \mathbf{0} \\ \iota_n^T x & = 1 \end{aligned} @@ -628,7 +638,7 @@ $$ $$ \begin{aligned} V(C) = &\min \hspace{2mm} u \\ -\text{s.t. } \hspace{2mm}u \iota_m &\geq Cp \\ +\text{使得 } \hspace{2mm}u \iota_m &\geq Cp \\ p &\geq \mathbf{0} \\ \iota_m^T p & = 1 \end{aligned} @@ -636,26 +646,19 @@ $$ Hamburger、Thompson和Weil {cite}`hamburger1967computation` 将经济的投入产出对视为双人零和博弈的收益矩阵。 -使用这种解释，他们将假设I和II重述如下 +使用这种解释，他们将{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`重述如下 $$ V(-A) < 0\quad\quad \text{和}\quad\quad V(B)>0 $$ -```{note} -*证明（概要）*: -* $\Rightarrow$ $V(B)>0$ 意味着 -$x_0^T B \gg \mathbf{0}$，其中 $x_0$ 是最大化 -向量。由于 $B$ 是非负的，这要求 $B$ 的每一 -列至少有一个正项，这就是假设I。 -* $\Leftarrow$ 从假设I和事实 -$p>\mathbf{0}$ 可知，$Bp > \mathbf{0}$。 -这意味着最大化玩家总能选择 $x$ -使得 $x^TBp>0$，因此必然有 -$V(B)>0$。 +```{prf:proof} （概要） +* $\Rightarrow$ $V(B)>0$ 意味着$x_0^T B \gg \mathbf{0}$，其中 $x_0$ 是最大化向量。由于 $B$ 是非负的，这要求 $B$ 的每一列至少有一个正项，这就是假设I。 +* $\Leftarrow$ 从假设I和事实 $p>\mathbf{0}$ 可知，$Bp > \mathbf{0}$。这意味着最大化玩家总能选择 $x$ +使得 $x^TBp>0$，因此必然有$V(B)>0$。 ``` -为了用特定的双人零和博弈重述定理I，我们定义一个矩阵，对于 $\gamma\in\mathbb{R}$ +为了用特定的双人零和博弈重述{prf:ref}`theorem1`，我们定义一个矩阵，对于 $\gamma\in\mathbb{R}$ $$ M(\gamma) \equiv B - \gamma A @@ -665,37 +668,21 @@ $$ 计算博弈的解意味着 -- 如果 $\gamma > \alpha_0$，那么对于所有 $x>0$，存在 - $j\in\{1, \dots, n\}$，使得 - $[x^T M(\gamma)]_j < 0$，这意味着 - $V(M(\gamma)) < 0$。 -- 如果 $\gamma < \beta_0$，那么对于所有 $p>0$，存在 - $i\in\{1, \dots, m\}$，使得 - $[M(\gamma)p]_i > 0$，这意味着 $V(M(\gamma)) > 0$。 -- 如果 $\gamma \in \{\beta_0, \alpha_0\}$，那么（根据定理I）最优 - 强度和价格向量 $x_0$ 和 $p_0$ - 满足 - +- 如果 $\gamma > \alpha_0$，那么对于所有 $x>0$，存在 $j\in\{1, \dots, n\}$，使得 $[x^T M(\gamma)]_j < 0$，这意味着 $V(M(\gamma)) < 0$。 +- 如果 $\gamma < \beta_0$，那么对于所有 $p>0$，存在 $i\in\{1, \dots, m\}$，使得 $[M(\gamma)p]_i > 0$，这意味着 $V(M(\gamma)) > 0$。 +- 如果 $\gamma \in \{\beta_0, \alpha_0\}$，那么（根据{prf:ref}`theorem1`）最优强度和价格向量 $x_0$ 和 $p_0$ 满足 $$ -\begin{aligned} x_0^T M(\gamma) \geq \mathbf{0}^T \quad \quad \text{和}\quad\quad M(\gamma) p_0 \leq \mathbf{0} -\end{aligned} $$ -也就是说，$(x_0, p_0, 0)$ 是博弈 -$M(\gamma)$ 的解，因此 -$V\left(M(\beta_0)\right) = V\left(M(\alpha_0)\right) = 0$。 +也就是说，$(x_0, p_0, 0)$ 是博弈 $M(\gamma)$ 的解，因此 $V\left(M(\beta_0)\right) = V\left(M(\alpha_0)\right) = 0$。 -* 如果 $\beta_0 < \alpha_0$ 且 -$\gamma \in (\beta_0, \alpha_0)$，那么 $V(M(\gamma)) = 0$。 +* 如果 $\beta_0 < \alpha_0$ 且 $\gamma \in (\beta_0, \alpha_0)$，那么 $V(M(\gamma)) = 0$。 -此外，如果 $x'$ 是在 -$\gamma'\in(\beta_0, \alpha_0)$ 时博弈 -$M(\gamma')$ 中最大化玩家的最优策略且 +此外，如果 $x'$ 是在 $\gamma'\in(\beta_0, \alpha_0)$ 时博弈 $M(\gamma')$ 中最大化玩家的最优策略且 $p''$ 对于 $M(\gamma'')$ 中的最小化玩家来说是最优的，其中 $\gamma''\in(\beta_0, \gamma')$，那么 $(x', p'', 0)$ 对于所有 $\gamma\in (\gamma'', \gamma')$ 都是 $M(\gamma)$ 的解。 -$p''$ 对于 $M(\gamma'')$ 中的最小化玩家来说是最优的，其中 $\gamma''\in(\beta_0, \gamma')$，那么 $(x', p'', 0)$ 对于所有 $\gamma\in (\gamma'', \gamma')$ 都是 $M(\gamma)$ 的解。 - -*证明（概要）：* 如果 $x'$ 对于游戏 $M(\gamma')$ 中的最大化玩家是最优的，那么 $(x')^T M(\gamma')\geq \mathbf{0}^T$，因此对于所有 $\gamma<\gamma'$： +```{prf:proof} （概要） +如果 $x'$ 对于游戏 $M(\gamma')$ 中的最大化玩家是最优的，那么 $(x')^T M(\gamma')\geq \mathbf{0}^T$，因此对于所有 $\gamma<\gamma'$， $$ (x')^T M(\gamma) = (x')^T M(\gamma') + (x')^T(\gamma' - \gamma)A \geq \mathbf{0}^T @@ -708,41 +695,41 @@ M(\gamma)p'' = M(\gamma'') + (\gamma'' - \gamma)Ap'' \leq \mathbf{0} $$ 因此 $V(M(\gamma))\leq 0$。 +``` 从上述论证中可以清楚地看出，$\beta_0$、$\alpha_0$ 是使得 $V(M(\gamma))=0$ 的最小和最大的 $\gamma$ 值。 此外，Hamburger等人{cite}`hamburger1967computation`证明了函数 $\gamma \mapsto V(M(\gamma))$ 是连续的且关于 $\gamma$ 单调递减的。 -这表明了一个算法来计算给定输入-输出对$(A, B)$的$(\alpha_0, x_0)$和$(\beta_0, p_0)$。 +这启发了一种算法来计算给定投入-产出对 $(A, B)$ 的 $(\alpha_0, x_0)$ 和 $(\beta_0, p_0)$。 ### 算法 -Hamburger、Thompson和Weil {cite}`hamburger1967computation`提出了一个简单的二分法算法来找到函数$\gamma \mapsto V(M(\gamma))$的最小和最大根(即$\beta_0$和$\alpha_0$)。 +Hamburger、Thompson和Weil {cite}`hamburger1967computation`提出了一个简单的二分算法来找到函数 $\gamma \mapsto V(M(\gamma))$ 的最小和最大根（即$\beta_0$和$\alpha_0$）。 #### 第1步 -首先，注意到我们可以很容易地为$\alpha_0$和$\beta_0$找到简单的上下界。 +首先，注意到我们可以很容易地为 $\alpha_0$ 和 $\beta_0$ 找到平凡的上下界。 -* TEP要求$x^T(B-\alpha A)\geq \mathbf{0}^T$且$x > \mathbf{0}$，所以如果$\alpha$大到使得$\max_i\{[(B-\alpha A)\iota_n]_i\} < 0$，那么TEP将不再有解。 +* TEP要求 $x^T(B-\alpha A)\geq \mathbf{0}^T$ 且 $x > \mathbf{0}$，所以如果 $\alpha$ 大到使得 $\max_i\{[(B-\alpha A)\iota_n]_i\} < 0$，那么TEP将不再有解。 -相应地，令**``UB``**为满足$\max_i\{[(B-\alpha^{*} A)\iota_n]_i\} = 0$的$\alpha^{*}$。 +相应地，令 **``UB``** 为满足 $\max_i\{[(B-\alpha^{*} A)\iota_n]_i\} = 0$ 的 $\alpha^{*}$。 -* 类似于上界，如果$\beta$低到使得$\min_j\{[\iota^T_m(B-\beta A)]_j\}>0$，那么EEP将没有解，因此我们可以定义**``LB``**为满足$\min_j\{[\iota^T_m(B-\beta^{*} A)]_j\}=0$的$\beta^{*}$。 +* 类似于上界，如果 $\beta$ 低到使得 $\min_j\{[\iota^T_m(B-\beta A)]_j\}>0$，那么EEP将没有解。因此我们可以定义 **``LB``** 为满足 $\min_j\{[\iota^T_m(B-\beta^{*} A)]_j\}=0$ 的 $\beta^{*}$。 -*bounds* 方法为我们计算这些基本边界 +*bounds* 方法为我们计算了这些平凡的上下界。 ```{code-cell} ipython3 n1.bounds() ``` -#### 步骤 2 +#### 第2步 计算 $\alpha_0$ 和 $\beta_0$ - 求解 $\alpha_0$ 1. 固定 $\gamma = \frac{UB + LB}{2}$ 并计算与 $M(\gamma)$ - 相关的双人零和博弈的解。我们可以使用原始或对偶 - 线性规划问题。 + 相关的双人零和博弈的解。我们可以使用原始或对偶线性规划问题。 1. 如果 $V(M(\gamma)) \geq 0$，则令 $LB = \gamma$， 否则令 $UB = \gamma$。 1. 重复步骤1和2，直到 $|UB - LB| < \epsilon$。 @@ -754,15 +741,15 @@ n1.bounds() 否则令 $UB = \gamma$。 1. 重复步骤1和2，直到 $|UB - LB| < \epsilon$。 - *存在性*：由于 $V(M(LB))>0$ 且 $V(M(UB))<0$，并且 - $V(M(\cdot))$ 是连续的单调递减函数，因此在 + $V(M(\cdot))$ 是连续的非增函数，因此在 $[LB, UB]$ 区间内至少存在一个 $\gamma$，使得 $V(M(\gamma))=0$。 -*zerosum* 方法计算与给定 $\gamma$ 相关的值和最优策略。 +*zerosum*方法会计算给定 $\gamma$ 时的博弈值和最优策略。 ```{code-cell} ipython3 γ = 2 -print(f'游戏在 γ = {γ} 时的值') +print(f'博弈在 γ = {γ} 时的值') print(n1.zerosum(γ=γ)[0]) print('强度向量（来自原问题）') print(n1.zerosum(γ=γ)[1]) @@ -785,7 +772,7 @@ fig.suptitle(r'函数 $V(M(\gamma))$', fontsize=16) for ax, grid, N, i in zip(axes, (value_ex1_grid, value_ex2_grid), (n1, n2), (1, 2)): ax.plot(γ_grid, grid) - ax.set(title=f'示例 {i}', xlabel='$\gamma$') + ax.set(title=f'示例 {i}', xlabel=r'$\gamma$') ax.axhline(0, c='k', lw=1) ax.axvline(N.bounds()[0], c='r', ls='--', label='下界') ax.axvline(N.bounds()[1], c='g', ls='--', label='上界') @@ -793,7 +780,7 @@ for ax, grid, N, i in zip(axes, (value_ex1_grid, value_ex2_grid), plt.show() ``` -*扩展*方法实现了对$\alpha_0$的二分法算法（并使用原始LP问题求解$x_0$） +*expansion*方法使用二分算法求解 $\alpha_0$（并使用原始线性规划问题求解 $x_0$） ```{code-cell} ipython3 α_0, x, p = n1.expansion() @@ -802,7 +789,7 @@ print(f'x_0 = {x}') print(f'对偶问题得到的相应p值 = {p}') ``` -*interest* 方法使用二分法算法求解 $\beta_0$ (并使用对偶线性规划问题求解 $p_0$) +*interest* 方法使用二分算法求解 $\beta_0$ (并使用对偶线性规划问题求解 $p_0$) ```{code-cell} ipython3 β_0, x, p = n1.interest() @@ -811,13 +798,13 @@ print(f'p_0 = {p}') print(f'The corresponding x from the primal = {x}') ``` -当然，当 $\gamma^*$ 是唯一的时候，我们使用哪种方法都无所谓 -- 两种方法都可行。 +当然，当 $\gamma^*$ 唯一时，我们使用哪种方法都无所谓 —— 两种方法都可行。 -特别是，如下所示，在 $(A,B)$ 不可约的情况下（如例1所示），$V(M(\gamma))$ 的最大根和最小根必然相同，这意味着存在"完全对偶"结果，即 $\alpha_0 = \beta_0 = \gamma^*$，因此扩张（和利息）率 $\gamma^*$ 是唯一的。 +特别是，如下所示，在 $(A,B)$ 不可约的情况下（如例1），$V(M(\gamma))$ 的最大根和最小根必然相同，这意味着一个“完全对偶”的结果 ，即 $\alpha_0 = \beta_0 = \gamma^*$，因此扩张（和利息）率 $\gamma^*$ 是唯一的。 ### 唯一性和不可约性 -作为说明，让我们首先计算例2中可约输入输出对 $(A, B)$ 的 $V(M(\cdot))$ 的最大根和最小根 +作为说明，让我们首先计算例2中可约投入-产出对 $(A, B)$ 的 $V(M(\cdot))$ 的最大根和最小根 ```{code-cell} ipython3 α_0, x, p = n2.expansion() @@ -833,29 +820,33 @@ print(f'p_0 = {p}') print(f'对偶问题得到的原问题解为 = {x}') ``` -如我们所见，当$(A,B)$可约时，二分法算法找到的根可能不同，因此可能存在多个使得博弈$M(\gamma^*)$的值为零的$\gamma^*$（见上图）。 +如我们所见，当$(A,B)$可约时，二分法算法找到的根可能不同，因此可能存在多个使得博弈$M(\gamma^*)$的值为零的 $\gamma^*$（见上图）。 -事实上，虽然冯·诺依曼定理保证了均衡的存在性，但假设I和II并不足以保证唯一性。尽管如此，Kemeny等人(1967)证明了经济解的数量至多是有限的，这意味着只有有限个$\gamma^*$满足$V(M(\gamma^*)) = 0$和$x_0^TBp_0 > 0$，并且对于每个这样的$\gamma^*_i$，都存在一个经济体的自包含部分（子经济体），在均衡状态下可以以扩张系数$\gamma^*_i$独立扩张。 +事实上，虽然冯·诺依曼定理保证了均衡的存在性，但假设I和II并不足以保证唯一性。尽管如此，Kemeny等人(1967)证明了经济解的数量至多是有限的，这意味着只有有限个 $\gamma^*$ 满足 $V(M(\gamma^*)) = 0$ 和 $x_0^TBp_0 > 0$，并且对于每个这样的 $\gamma^*_i$，都存在一个经济体的自包含部分（子经济体），在均衡状态下可以以扩张系数 $\gamma^*_i$ 独立扩张。 -以下定理（参见Gale {cite}`gale1989theory`中的定理9.10）断言，施加不可约性条件足以保证$(\gamma^*, x_0, p_0)$的唯一性。 +以下定理（参见Gale {cite}`gale1989theory`中的定理9.10）断言，施加不可约性条件足以保证 $(\gamma^*, x_0, p_0)$ 的唯一性。 -**定理II：**采用定理1的条件。如果经济体 +```{prf:theorem} +:label: theorem2 -$(A,B)$ 不可约，则 $\gamma^*=\alpha_0=\beta_0$。 +采用{prf:ref}`theorem1`的条件。如果经济体 $(A,B)$ 不可约，则 $\gamma^*=\alpha_0=\beta_0$。 +``` ### 特殊情况 有一种特殊的 $(A,B)$ 允许我们通过引用非负矩阵的 Perron-Frobenius 定理来显著简化求解方法。 -**定义：** 如果一个经济满足以下条件，我们称之为*简单*经济： +```{prf:definition} +如果一个经济体满足以下条件，我们称之为*简单*的： * $n=m$ * 每个生产活动恰好生产一种商品 * 每种商品恰好由一个生产活动生产 +``` 这些假设意味着 $B=I_n$，即 $B$ 可以写成单位矩阵（可能需要重新排列其行和列）。 -简单模型具有以下特殊性质（Gale {cite}`gale1989theory` 中的定理 9.11）：如果 $x_0$ 和 $\alpha_0>0$ 是 $(A,I_n)$ 的 TEP 的解，那么 +简单模型具有以下特殊性质（参见Gale {cite}`gale1989theory` 中的定理 9.11）：如果 $x_0$ 和 $\alpha_0>0$ 是 $(A,I_n)$ 的 TEP 的解，那么 $$ x_0^T = \alpha_0 x_0^T A\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}x_0^T @@ -864,11 +855,11 @@ $$ 后者表明 $1/\alpha_0$ 是 $A$ 的一个正特征值，而 $x_0$ 是相应的非负左特征向量。 -**Perron和Frobenius**的经典结果表明，非负矩阵具有非负的特征值-特征向量对。 +**Perron和Frobenius**的经典结果表明：任意非负矩阵都存在一个非负的特征值–特征向量对。 -此外，如果$A$是不可约的，则最优强度向量$x_0$是正的，并且在乘以正标量的意义下是*唯一*的。 +此外，如果 $A$ 是不可约的，则最优强度向量 $x_0$ 是正的，并且除了一个正的比例因子之外是唯一的。 -假设$A$是可约的，具有$k$个不可约子集$S_1,\dots,S_k$。令$A_i$为对应于$S_i$的子矩阵，令$\alpha_i$和$\beta_i$分别为相关的扩张因子和利息因子。那么我们有 +假设 $A$ 是可约的，具有 $k$ 个不可约子集 $S_1,\dots,S_k$。令 $A_i$ 为对应于 $S_i$ 的子矩阵，令 $\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 分别为相关的扩张因子和利息因子，那么我们有 $$ \alpha_0 = \max_i \{\alpha_i\}\hspace{1cm}\text{和}\hspace{1cm}\beta_0 = \min_i \{\beta_i\}